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LINEAS DE INVESTIGACIÓN

 

Curvas alpha-densas

La teoría de curvas alfa-densas reduce los problemas de Optimización Global multivariables a univariables. El pequeño parámetro alfa mide la distancia de Hausdorff entre el dominio multidimensional de la función inicial a optimizar y un continuo de Peano especial, a saber, la curva alfa-densa, que depende de una única variable en el intervalo unidad. Ahora el problema se reduce a optimizar la restricción de la función dada sobre la curva, lo que supone una gran simplicidad al disminuir la enorme complejidad que representa el gran número de variables de que suelen depender los procesos biomédicos, industriales, etc. Nuestro objetivo es el de aplicar nuestro método para obtener la trayectoria óptima de un vehículo espacial desde su despegue hasta su inyección en órbita, en primera instancia. En segundo lugar se pretende modelizar y resolver el problema del cambio de orbita.

 

Ceros de funciones casi-periódicas

En 1782 Lagrange relacionó el problema astronómico de la perturbación de los planetas grandes con la variación del argumento de ciertos polinomios exponenciales, emergiendo un problema matemático conocido como Mean Motion. Para extender el problema de Lagrange de los polinomios exponenciales a una clase más general, H.Bohr en 1924 introdujo la noción de función casi-periodica, una potente teoría que se puede utilizar con tal de estudiar la distribución asintótica de los ceros de ciertas funciones enteras tal como 1+2z+...+nz, n>1, que constituyen una sucesión de aproximantes de la función zeta de Riemann.

Por otra parte, los ceros de los polinomios exponenciales es un tópico que aparece en el primer tercio del siglo XX en relación al desarrollo de la teoría de las ecuaciones diferenciales. En la extensa literatura sobre este tema, las fórmulas para determinar el números de ceros en ciertas regiones tienen una cosa en común: todas contienen o bien un término impreciso de tipo O(1) o bien una cota que expresa el error máximo con respecto al número exacto de ceros en tales regiones (esencialmente el error encontrado es n o n-1, siendo n el número de términos del polinomio exponencial). Así que uno de los problemas que se plantean es el intentar encontrar regiones (básicamente rectángulos) para las cuales el error en la fórmula que determina el número de ceros se reduce a 0.

 

Problemas de optimización geométrica

Se busca optimizar (maximizar o minimizar) los valores de algún funcional geométrico entre todos los conjuntos sujetos a ciertas restricciones (valores fijos de otros funcionales geométricos, retricciones determinadas por retículos, condiciones de frontera, condiciones topológicas, etc. ). Interesa tanto determinar los valores óptimos del funcional como describir los conjuntos extremales que alcanzan dichos valores.

 

Partial Differential Equations

1) Ecuaciones en derivadas parciales.

  1.1) Problemas no locales de difusión.

  1.2) Blow-up para problemas parabólicos.

  1.3) Juegos Tug-of-War.

  1.4) Problemas elípticos. Métodos variacionales. Soluciones de viscosidad.

2) Análisis.

  2.1) Constantes óptimas en los embebimientos de Sobolev.

3) Análisis Numérico.

  3.1) Elementos finitos y diferencias finitas.

  3.2) Comportamiento asintótico de las aproximaciones.

 

Teoría de Aproximación

Un concepto básico y natural de Teoría de aproximación es el de subespacio proximinal simultáneamente. Un subespacio Y de X normado es proximinal simultáneamente, si para cada familia finita A de puntos de X admite un punto en Y que aproxima "a la vez" los puntos de A, en algún sentido. La idea es muy antigua y surge en multitud de problemas de aproximación. Si nos restringimos al plano euclídeo, podemos comenzar con el clásico problema de Fermat: "Dados tres puntos en el plano euclídeo, encuéntrese un cuarto punto tal que la suma de sus distancias a los tres puntos dados sea  mínima". 
Problemas de esta índole llevan, por ejemplo, a encontrar caracterizaciones de los espacios normados cuya norma procede de un producto interior (espacios prehilbertianos: IPS), y por otra parte, a cuestiones de Optimización, Programación no Lineal y Localización.

Departamento de Análisis Matemático


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